Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（Ⅱ）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f'（x），因為函數(shù)在x=±1處取得極值，即得到f'（1）=f'（-1）=0，代入求出a與b得到函數(shù)解析式，然后討論利用x的取值范圍討論函數(shù)的增減性，得到f（1）和f（-1）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值；
（Ⅱ）先判斷點A（0，16）不在曲線上，設切點為M（x，y），分別代入導函數(shù)和函數(shù)中寫出切線方程，因為A點在切線上，把A坐標代入求出切點坐標即可求出切線方程．
解答：（Ⅰ）解：f'（x）=3ax²+2bx-3，依
題意，f'（1）=f'（-1）=0，
即
解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
則f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
若x∈（-1，1），
則f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值．
（Ⅱ）解：曲線方程為y=x³-3x，點A（0，16）不在曲線上．
設切點為M（x，y），
則點M的坐標滿足y=x³-3x．
因f'（x）=3（x²-1），
故切線的方程為y-y=3（x²-1）（x-x）
注意到點A（0，16）在切線上，有16-（x³-3x）=3（x²-1）（0-x）
化簡得x³=-8，
解得x=-2．
所以，切點為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程的能力．