Question

成都市為“市中學生知識競賽”進行選拔性測試，且規(guī)定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的則被淘汰。若現(xiàn)有500人參加測試，學生成績的頻率分布直方圖如下：

（I）求獲得參賽資格的人數(shù)；
（II）根據(jù)頻率直方圖，估算這500名學生測試的平均成績；
（III）若知識競賽分初賽和復賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復賽，已知參賽者甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續(xù)兩次答錯的概率為，求甲在初賽中答題個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.

Answer 1

（I） 125；（II）78.48；（III） 分布列為：

	3	4	5

數(shù)學期望為.

解析試題分析：（I）將頻率分布直方圖中90~150的小矩形的面積相加，便得獲得參賽資格的人數(shù)的頻率.頻率乘以測試總?cè)藬?shù)500，便得獲得參賽資格的人數(shù).
（II）在頻率分布直方圖中，平均值等于每小組的頻率乘以每小組中點的值的和.
（III）已知連續(xù)兩次答錯的概率為，由此可得答對每一道題的概率.注意，答題的個數(shù)包括答對的和答錯的.顯然答題的個數(shù)可取3、4、5. “”表示連續(xù)答對3個或連續(xù)答錯3個；“”表示前3題中恰好答對2個且第4 個題答對或前3題中恰好答錯2個且第4 個題答錯；“”表示前4個題恰好答對2個.根據(jù)獨立事件的概率公式便可得 的分布列，由隨機變量的數(shù)學期望公式可求得的期望.
試題解析：（I）獲得參賽資格的人數(shù)    2分
（II）平均成績：

        5分
（III）設(shè)甲答對每一道題的概率為.P
則

的分布列為

	3	4	5

        12分
考點：1、頻率分布直方圖及樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；2、隨機變量的分布列及期望.