Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數，a≠0，x∈R），F（x）=

f(x) ， x＞0 -f(x) ， x＜0

．
（1）若f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）設mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數f（x）為偶函數，判斷F（m）+F（n）是否大于0？
（3）設g（x）=

lnx+1

ex

，當a=b=1時，證明：對任意實數x＞0，[F（x）-1]g′（x）＜1+e^-2（其中g′（x）是g（x）的導函數）．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,二次函數的性質

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據條件f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），建立條件關系即可求F（x）的表達式；
（2）根據函數奇偶性的性質結合條件mn＜0，m+n＞0，a＞0，即可判斷F（m）+F（n）是否大于0？
（3）求函數的導數，利用導數研究函數的單調性即可證明不等式．

解答： 解：（1）因為f（-1）=0，所以a-b+1=0，
因為f（x）的值域為[0，+∞），所以

a＞0 △=b2-4a=0

，
所以b²-4（b-1）=0⇒b=2，a=1，所以f（x）=（x+1）²，
所以F(x)=

(x+1)2 ，&x＞0 -(x+1)2 ，&x＜0

；                                     
（2）因為f（x）是偶函數，所以b=0，即f（x）=ax²+1，
又a＞0，所以F(x)=

ax2+1 ，&x＞0 -ax2-1 ，&x＜0

，
因為mn＜0，不妨設m＞0，
則n＜0，又m+n＞0，所以m＞-n＞0，
此時F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0，
所以F（m）+F（n）＞0；                                           
（3）因為x＞0，所以F（x）=f（x）=ax²+bx+1，
又a=b=1，則F（x）-1=x²+x，
因為g(x)=

lnx+1

ex

，所以g′(x)=

1 x -lnx-1

ex

則原不等式證明等價于證明“對任意實數x＞0，(x2+x)•

1 x -lnx-1

ex

＜1+e-2，
即 

1+x

ex

•(1-xlnx-x)＜1+e-2．
先研究 1-xlnx-x，再研究

1+x

ex

．
①記m（x）=1-xlnx-x，x＞0，m′（x）=-lnx-2，
令m′（x）=-lnx-2=0，得x=e^-2，
當x∈（0，e^-2）時，m′（x）＞0，m（x）單增；當x∈（e^-2，+∞）時，m′（x）＜0，m（x）單減．
所以，m（x）的最大值m（e^-2）=1+e^-2，即1-xlnx-x≤1+e^-2．
②記n（x）=

1+x

ex

，x＞0，n′（x）=-

x

ex

＜0，
所以n（x）在（0，+∞）單減，
所以，n（x）＜n（0）=1，即

1+x

ex

＜1．
綜上①、②知，g（x）=

1+x

ex

(1-xlnx-x)≤

1+x

ex

(1+e-2)＜1+e-2．
即原不等式得證，對任意實數x＞0，[F（x）-1]g'（x）＜1+e^-2．

點評：本題主要考查函數解析式的求解，函數奇偶性的應用，以及函數單調性和導數之間的關系，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．