Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點的坐標分別為，兩動點M、N滿足，向量與共線．
（1）求△ABC的頂點C的軌跡方程；
（2）若過點P（0，a）的直線與（1）的軌跡相交于E、F兩點，求的取值范圍．
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ為C點的軌跡在第一象限內的任意一點，則是否存在常數λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設C（x，y），由知，
∴M是△ABC的重心，∴．
∵且向量與共線，∴N在邊AB的中垂線上，
∵，∴，
又∵，∴，化簡得，
即所求的軌跡方程是．
（2）設E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），過點P（0，a）的直線方程為y=kx+a，
代入得（3-k²）x²-2akx-4a²=0，
∴，且△=4a²k²+16a²（3-k²）＞0，解得k²＜4．
∴k²-3＜1，則或，
∴
=，
則的取值范圍是（-∞，4a²）∪（20a²，+∞）．
（3）設Q（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則，即y₀²=3（x₀²-a₀²）．
當QH⊥x軸時，x₀=2a，y₀=3a，∴∠QGH=，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
當QH不垂直x軸時，tan∠QHG=QGH=，
∴tan2∠QGH==．
又2∠QGH與∠QHG同在內，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．
分析：（1）先設出點C的坐標，根據△ABC的重心的充要條件表示出點M的坐標，再根據點A和B坐標以及距離的關系求出點N的坐標，由兩點之間的距離公式代入，進行化簡求出點C的軌跡方程；
（2）由題意設出點E、F和直線的方程，聯立直線方程和軌跡方程，消去y得到關于x的二次方程，根據韋達定理列出兩根和以及積的式子，由判別式的符號求出k²-3的范圍，根據向量數量積的坐標運算列出關于k的式子，根據求出的范圍，即求出的范圍；
（3）設出Q的坐標并代入軌跡方程，由特殊情況QH⊥x軸求出λ的值，根據點G和H坐標求出兩個角的正切值，由兩個角的范圍和正切值進行判斷是否成立．
點評：本題考查了軌跡方程的求法以及向量數量積的坐標，利用△ABC的重心的充要條件和距離公式求出軌跡方程，主要利用解析法中的設而不求思想，即根據題意列出方程組，根據韋達定理和判別式列出式子，把式子整體代入進行化簡，此題綜合性強，涉及的知識多，考查了分析問題和解決問題的能力．