Question

已知函數(shù)函f（x）=x|x|-2x（x∈R）
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；
（2）作出函數(shù)f（x）=x|x|-2x的圖象；
（3）討論方程x|x|-2x=a根的情況．

Answer 1

（1）∵f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∴當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，故f（-x）=-x²+2x，=-f（x）
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，故f（-x）=x²+2x=-f（x）
當(dāng)x=0時(shí)，-x=0，故f（-x）=-f（x）=0
綜上函數(shù)f（x）=x|x|-2x為奇函數(shù)
（2）由（1）中f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

則函數(shù)的圖象如下圖所示：

（3）由圖可知：
當(dāng)a＜-1，或a＞1時(shí)，方程x|x|-2x=a有一個(gè)根；
當(dāng)a=-1，或a=1時(shí)，方程x|x|-2x=a有二個(gè)根；
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，方程x|x|-2x=a有三個(gè)根；