Question

【題目】已知函數，.

（1）若關于的不等式的解集為，求實數的值；

（2）若對任意的，，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據題意可知，關于的方程的兩根分別為和，由韋達定理可求出的值；

（2）由題意可知，求出函數的最大值，然后分、、三種情況討論，利用二次函數的基本性質求出函數的最小值，解出不等式即可.

（1）根據題意可知，關于的方程的兩根分別為和，

由韋達定理可得，因此，；

（2）對任意的，，不等式恒成立，

則，

對于函數，，

由于內層函數在區(qū)間上單調遞增，

外層函數在定義域上為減函數，

所以，函數在區(qū)間上單調遞減，

當時，函數取得最大值，即.

由于二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線.

①當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞增，

此時，，由題意可得，解得，

此時，；

②當時，即當時，

函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

所以，，由題意得，解得，

此時，；

③當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞減，

此時，，由題意可得，解得，

此時，.

綜上所述，實數的取值范圍是.