Question

平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長最小時，求直線l的方程；
（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點(diǎn)（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出O點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離，進(jìn)而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時，直線l的方程；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），，，求出直線MP、NP分別與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可求mn的值．
解答：解：（1）因?yàn)镺點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離為，（2分）
所以圓O的半徑為，
故圓O的方程為x²+y²=2．                         （4分）
（2）設(shè)直線l的方程為，即bx+ay-ab=0，
由直線l與圓O相切，得，即，（6分）
，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，此時直線l的方程為x+y-2=0．（10分）
（3）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），，，
直線MP與x軸交點(diǎn)，，
直線NP與x軸交點(diǎn)，，（14分）
===2，
故mn為定值2．                                （16分）
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．