Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形ABCD的兩邊AB，CD分別落在x軸、y軸的正半軸上，且AB=2，AD=4，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．現(xiàn)將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上，若折痕所在的直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程及k的范圍．

Answer 1

分析：分析重合的兩個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，A點(diǎn)落在線段DC上，A點(diǎn)與DC上的點(diǎn)關(guān)于折痕對(duì)稱，兩點(diǎn)的連線與折痕垂直，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的斜率，得出k的取值．（注意要分點(diǎn)A與點(diǎn)D重合以及點(diǎn)A與點(diǎn)D不重合兩種情況來(lái)研究）．

解答：解：①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕所在直線的方程
為y=2；                  …（2分）
②當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)矩形折疊后點(diǎn)A落在線段DC上
的點(diǎn)A′（a，4），…（4分）
所以，A與A′關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱，
從而

4

a

•k=-1，即a=-4k…（7分）
故A′點(diǎn)的坐標(biāo)（-4k，4），線段AA′的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-2k，2），…（10分）
所以，折痕所在直線的方程為y-2=k（x+2k），即kx-y+2k²+2=0． …（12分）
由于當(dāng)k=0時(shí)，折痕所在直線的方程為y=2也滿足上式，
所以，折痕所在直線的方程為kx-y+2k²+2=0；
顯然，當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合時(shí)，k取最小值為-

1

2

，即-

1

2

≤k≤0
綜上所述，折痕所在直線的方程為kx-y+2k²+2=0且-

1

2

≤k≤0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)關(guān)于線段對(duì)稱問(wèn)題，考查直線之間的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查直線的圖象的特征，