在平面直角坐標系xOy中,Pn(n,n2)(n∈N+)是拋物線y=x2上的點,△OPnPn+1的面積為Sn
(1)求Sn;
(2)化簡
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
;
(3)試證明S1+S2+…+Sn=
n(n+1)(n+2)
6
分析:(1)由題意利用直線所過的兩個點寫出直線的方程,要求三角形的面積,有面積公式,應(yīng)先求出線段PnPn+1的長度,再有點到直線的距離公式求出距離,利用S=
1
2
×底×高
公式求出即可;
(2)有(1)可知Sn=
n(n+1)
2
的式子,有式子的特點選擇裂項相消求和即可;
(3)有Sn,應(yīng)該先求出S1,S2…S,在利用累加法求證結(jié)論即可.
解答:(1)依題意,Pn+1(n+1,(n+1)2),直線PnPn+1的方程為
y-n2
x-n
=
(n+1)2-n2
(n+1)-n
,
即(2n+1)x-y-n(n+1)=0,PnPn+1=
[(n+1)-n]2+[(n+1)2-n2]2
=
4n2+4n+2
,
點O到直線PnPn+1的距離d=
n(n+1)
4n2+4n+2

所以Sn=
1
2
×PnPn+1×d=
n(n+1)
2

(2)
1
Sn
=
2
n(n+1)
=
2
n
-
2
n+1
,
1
S1
+
1
S2
++
1
Sn
=
2
1
-
2
n+1
=
2n
n+1
,
(3)因為
n(n+1)(n+2)
6
-
(n-1)n(n+1)
6
=
3n(n+1)
6
=
n(n+1)
2
=Sn
,
從而
(n-1)n(n+1)
6
-
(n-2)(n-1)n
6
=Sn-1
,,
2×3×4
6
-
1×2×3
6
=S2
,
1×2×3
6
-
0×1×2
6
=S1

以上各式累加得S1+S2++Sn=
n(n+1)(n+2)
6
點評:此題考查了求直線的方程的兩點式點到直線的距離公式,三角形的面積公式及數(shù)列的裂項相消法求和,還考查了數(shù)列的累加法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點,點P在圓C上,且滿足PF=4,求點P的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點.若點A的橫坐標是
3
5
,點B的縱坐標是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案