Question

在平面直角坐標系xOy中，P_n（n，n²）（n∈N₊）是拋物線y=x²上的點，△OP_nP_n+1的面積為S_n．
（1）求S_n；
（2）化簡

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（3）試證明S1+S2+…+Sn=

n(n+1)(n+2)

6

．

Answer 1

分析：（1）由題意利用直線所過的兩個點寫出直線的方程，要求三角形的面積，有面積公式，應(yīng)先求出線段P_nP_n+1的長度，再有點到直線的距離公式求出距離，利用S△=

1

2

×底×高公式求出即可；
（2）有（1）可知Sn=

n(n+1)

2

的式子，有式子的特點選擇裂項相消求和即可；
（3）有S_n，應(yīng)該先求出S₁，S₂…S，在利用累加法求證結(jié)論即可．

解答：（1）依題意，P_n+1（n+1，（n+1）²），直線P_nP_n+1的方程為

y-n2

x-n

=

(n+1)2-n2

(n+1)-n

，
即（2n+1）x-y-n（n+1）=0，PnPn+1=

[(n+1)-n]2+[(n+1)2-n2]2

=

4n2+4n+2

，
點O到直線P_nP_n+1的距離d=

n(n+1)

4n2+4n+2

，
所以Sn=

1

2

×PnPn+1×d=

n(n+1)

2

．
（2）

1

Sn

=

2

n(n+1)

=

2

n

-

2

n+1

，

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=

2

1

-

2

n+1

=

2n

n+1

，
（3）因為

n(n+1)(n+2)

6

-

(n-1)n(n+1)

6

=

3n(n+1)

6

=

n(n+1)

2

=Sn，
從而

(n-1)n(n+1)

6

-

(n-2)(n-1)n

6

=Sn-1，，

2×3×4

6

-

1×2×3

6

=S2，

1×2×3

6

-

0×1×2

6

=S1，
以上各式累加得S1+S2++Sn=

n(n+1)(n+2)

6

．

點評：此題考查了求直線的方程的兩點式點到直線的距離公式，三角形的面積公式及數(shù)列的裂項相消法求和，還考查了數(shù)列的累加法．