【題目】如圖，在四面體中，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1) 設(shè)為的中點(diǎn)，連接，.易知，從而平面，故平面平面；（2）以為原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸、建立空間直角坐標(biāo)系.求出直線的方向向量，平面的法向量，代入公式即可得到直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，.

∵是的中點(diǎn)，

∴在中，，即為等邊三角形，

∴，∴.

在中，，，

∴，且，

于是，可知.

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）解：由（1）知，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸、建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，令，得，又.

設(shè)直線與平面所成角為，

則，即直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，在區(qū)間上存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得以為邊長的三角形是直角三角形，則的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某校6個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚?/span>

學(xué)生的編號

1

2

3

4

5

6

數(shù)學(xué)

89

87

79

81

78

90

物理

79

75

77

73

72

74

（1）若在本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的學(xué)生為理科小能手.從這6個(gè)學(xué)生中抽出2個(gè)學(xué)生，設(shè)表示理科小能手的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）通過大量事實(shí)證明發(fā)現(xiàn)，一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，在上述表格是正確的前提下，用表示數(shù)學(xué)成績，用表示物理成績，求與的回歸方程.

參考數(shù)據(jù)和公式：，其中，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，且離心率.

（1）求該橢圓的方程；

（2）若與是該橢圓上不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，試證： 軸上存在定點(diǎn)，對于所有滿足條件的與，恒有；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)。

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù),若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A. B. (0,1)

C. (0,2) D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)．

（1）求a的值，并證明是R上的增函數(shù)；

（2）若關(guān)于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)高考實(shí)行新方案，規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目，考生還須從物理，化學(xué)，生物，歷史，地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目．若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定．例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案．

某學(xué)校為了解高一年級420名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表：

性別

選考方案確定情況

物理

化學(xué)

生物

歷史

地理

政治

男生

選考方案確定的有8人

8

8

4

2

1

1

選考方案待確定的有6人

4

3

0

1

0

0

女生

選考方案確定的有10人

8

9

6

3

3

1

選考方案待確定的有6人

5

4

1

0

0

1

（Ⅰ）估計(jì)該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人?

（Ⅱ）假設(shè)男生、女生選擇選考科目是相互獨(dú)立的．從選考方案確定的8位男生中隨機(jī)選出1人，從選考方案確定的10位女生中隨機(jī)選出1人，試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率；

（Ⅲ）從選考方案確定的8名男生中隨機(jī)選出2名，設(shè)隨機(jī)變量，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， ， ， ， ， 分別為， ， 的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大��；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

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