Question

【題目】已知在中，兩直角邊，的長(zhǎng)分別為和，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，橢圓以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線：與相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或

【解析】

（1）由題意，得到橢圓的定義求得的值，再結(jié)合的關(guān)系，求得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）假設(shè)存在軸上存在點(diǎn)點(diǎn)，由題意聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)，再根據(jù)C到弦AB的中點(diǎn)P的距離為弦長(zhǎng)的倍，結(jié)合，求得C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值.

（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義，可得，

所以，又，

又，又焦點(diǎn)在x軸上，

故所求橢圓方程為.

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得為正三角形.

設(shè)，線段AB的中點(diǎn)為，則.

又，整理得，

則，解得，

又

所以，

，

即，則，

令，則，即，，

所以，

解得，滿足條件

所以在軸上存在點(diǎn)，使得為正三角形.