【題目】如圖，是一個(gè)三棱錐，是圓的直徑，是圓上的點(diǎn)，垂直圓所在的平面，，分別是棱，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若二面角是，，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）可證，，再利用可得，，從而可證平面.

（2）可證為二面角的平面角，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 求出平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量后可求與平面所成角的正弦值.

（1）因?yàn)?/span>是圓的直徑，所以.

因?yàn)?/span>垂直圓所在的平面，且在該平面中，所以.

因?yàn)?/span>，分別是棱，的中點(diǎn)，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以有平面.

（2）由（1）可知，，，

所以為二面角的平面角，

從而有，則.

又，，得.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，

，，，

，，

.

設(shè)是平面的法向量，則

即可取.

故.

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在如圖所示的幾何體中，側(cè)面ABCD為矩形，側(cè)面DEFG為平行四邊形，AB＝1，AD＝2，AG∥BF，AB⊥BF，AG＝3,BF＝5，二面角D﹣AB﹣F的大小為60°.

（1）證明，平面CDE⊥平面ADG

（2）求直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的大小

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（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若關(guān)于的方程f（x）＝kex（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值.

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分?jǐn)?shù)

頻數(shù)

40

50

70

60

80

50

（1）求的值；

（2）若按照分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?/span>、的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行錯(cuò)題分析，求這2人中至少有1人的分?jǐn)?shù)在的概率.

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【題目】已知函數(shù)且a≠0）．

（1）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；

（2）若函數(shù)f（x）的極小值為，試求a的值．

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【題目】如圖，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．

Ⅰ求證：平面；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ求點(diǎn)到平面的距離．

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【題目】如圖甲，AD，BC是等腰梯形CDEF的兩條高，，點(diǎn)M是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，將該等腰梯形沿著兩條高AD，BC折疊成如圖乙所示的四棱錐P-ABCD（E，F重合，記為點(diǎn)P）.

甲 乙

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)M到平面BDP距離h.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn).

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

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【題目】某購(gòu)物商場(chǎng)分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購(gòu)物活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用“掃碼支付”．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程適合用來(lái)表示，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第天使用掃碼支付的人次；

（2）推廣期結(jié)束后，商場(chǎng)對(duì)顧客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

支付方式

現(xiàn)金

會(huì)員卡

掃碼

比例

商場(chǎng)規(guī)定：使用現(xiàn)金支付的顧客無(wú)優(yōu)惠，使用會(huì)員卡支付的顧客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用掃碼支付的顧客，享受折優(yōu)惠的概率為，享受折優(yōu)惠的概率為，享受折優(yōu)惠的概率為．現(xiàn)有一名顧客購(gòu)買(mǎi)了元的商品，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率，估計(jì)該顧客支付的平均費(fèi)用是多少？

參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．

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