Question

已知點P（x，y）滿足橢圓方程2x²+y²=1，則

2x+y-2

x-1

的最大值為

2+

2

．

Answer 1

分析：

2x+y-2

x-1

=2+

y

x-1

，而

y

x-1

表示橢圓2x²+y²=1的點（x，y）與點（1，0）所在直線的斜率．
設直線y=k（x-1），與橢圓方程聯立，令△=4k⁴-4（2+k²）（k²-1）=0，解得k即可．

解答：解：

2x+y-2

x-1

=2+

y

x-1

，
∵

y

x-1

表示橢圓2x²+y²=1的點（x，y）與點（1，0）所在直線的斜率．
設直線y=k（x-1），聯立

2x2+y2=1 y=k(x-1)

化為（2+k²）x²-2k²x+k²-1=0，
令△=4k⁴-4（2+k²）（k²-1）=0，解得k=±

2

．
當k=

2

時，則

2x+y-2

x-1

的最大值為2+

2

．
故答案為2+

2

．

點評：把所求的問題轉化為過點（1，0）與橢圓相切的直線的斜率是解題的關鍵．