Question

（本題滿分16分）已知函數，（為常數，為自然對數的底）．

（1）令，，求和；

（2）若函數在時取得極小值，試確定的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設由的極大值構成的函數為，試判斷曲線只可能與直線、（，為確定的常數）中的哪一條相切，并說明理由．

Answer 1

（1），; （2）;（3）曲線只可能與直線相切.

【解析】

試題分析：（1）.時, ,根據導數的運算法則將其求導即可. （2）先將求導可得.求導數等于0的根.比較兩根的大小.根據兩根的大小即的取值范圍討論兩側導數的符號,判斷是否為極小值點. （3）由（2）可得時.即.先求導, 令,再求,討論導數的符號,導數正得增區(qū)間,導數負得減區(qū)間.根據函數的單調性可求函數的值域. 根據導數的幾何意義可知此值域即為切線斜率的值域.直線的斜率為，直線的斜率為,看兩直線斜率是否在此值域內即可.

試題解析：【解析】
（1），

時, .. 4分

（2）

，令，得或，

當時，恒成立，此時單調遞減；

當時，，若，則，若，則，

是函數的極小值點； 8分

當時，，若，則，若，則，

此時是函數的極大值點，

綜上所述，使函數在時取得極小值的的取值范圍是 10分

（3）由（Ⅰ）知，且當時，，

因此是的極大值點，，

于是 12分

，

令，

則恒成立，即在是增函數， 14分

所以當時，，即恒有，

又直線的斜率為，直線的斜率為，

所以由導數的幾何意義知曲線只可能與直線相切 16分.

考點：用導數研究函數的性質.