【題目】如圖, 直線與拋物線交于兩點(diǎn), 線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段下方(含)的動點(diǎn)時(shí), 求ΔOPQ面積的最大值.

【答案】(1) ;(2) 最大值30

【解析】

1)把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)AB的坐標(biāo),則AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)可得,利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率,進(jìn)而求得AB垂直平分線的方程,把y=-5代入求得Q的坐標(biāo).
2)設(shè)出P的坐標(biāo),利用P到直線OQ的距離求得三角形的高,利用兩點(diǎn)間的距離公式求得OQ的長,最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ,利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值.

解:(1) 解方程組

A(4,2),B(8,4), 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).

,

直線的垂直平分線方程

, 得, ∴

(2)直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)

∵點(diǎn)P到直線OQ的距離d==,,

=.

P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn), P不在直線OQ,

∴-4≤x<4-4或4-4< x≤8.

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=8時(shí), ΔOPQ的面積取到最大值30

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,.

(Ⅰ)若,求的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,記,證明:

【答案】(Ⅰ)極大值為,無極小值;證明見解析.

【解析】分析:(Ⅰ)先判斷函數(shù)上的單調(diào)性,然后可得當(dāng)時(shí),有極大值,無極小值.不妨設(shè)由題意可得,,又由條件得,構(gòu)造,令,則,利用導(dǎo)數(shù)可得故得,,所以

詳解:(Ⅰ)

,

且當(dāng)時(shí),,即上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),,即上單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時(shí),有極大值,且無極小值.

(Ⅱ)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為,不妨設(shè)

,

,

,

,

,

,則

,

上單調(diào)遞減,

,

,

,

點(diǎn)睛:(1)研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(。┲怠⒑瘮(shù)的變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的大體圖象,然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)

(2)證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法,然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明

型】解答
結(jié)束】
22

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù),.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為:

(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校在學(xué)年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動,投票規(guī)則是一人一票,高一(1)班44名學(xué)生和高一(7)班45名學(xué)生的投票結(jié)果如下表(無廢票):

語文

數(shù)學(xué)

外語

物理

化學(xué)

生物

政治

歷史

地理

高一(1)班

6

9

7

5

4

5

3

3

2

高一(7)班

6

4

5

6

5

2

3

該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本,把兩個(gè)班同一學(xué)科的得票之和定義為該年級該學(xué)科的“好感指數(shù)”.

(Ⅰ)如果數(shù)學(xué)學(xué)科的“好感指數(shù)”比高一年級其他文化課都高,求的所有取值;

(Ⅱ)從高一(1)班投票給政治、歷史、地理的學(xué)生中任意選取位同學(xué),設(shè)隨機(jī)變量為投票給地理學(xué)科的人數(shù),求的分布列和期望;

(Ⅲ)當(dāng)為何值時(shí),高一年級的語文、數(shù)學(xué)、外語三科的“好感指數(shù)”的方差最小?(結(jié)論不要求證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】新高考最大的特點(diǎn)就是取消文理分科,除語文、數(shù)學(xué)、外語之外,從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目.某研究機(jī)構(gòu)為了了解學(xué)生對全文(選擇政治、歷史、地理)的選擇是否與性別有關(guān),從某學(xué)校高一年級的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取男生,女生各人進(jìn)行模擬選科.經(jīng)統(tǒng)計(jì),選擇全文的人數(shù)比不選全文的人數(shù)少人.

(1)估計(jì)在男生中,選擇全文的概率.

(2)請完成下面的列聯(lián)表;并估計(jì)有多大把握認(rèn)為選擇全文與性別有關(guān),并說明理由;

附:,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列結(jié)論:

為真為真的充分不必要條件:②為假為真的充分不必要條件;③為真為假的必要不充分條件;④為真為假的必要不充分條件.

其中,正確的結(jié)論是__________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知10件不同產(chǎn)品中有3件是次品,現(xiàn)對它們一一取出(不放回)進(jìn)行檢測,直至取出所有次品為止.

(1)若恰在第5次取到第一件次品,第10次才取到最后一件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)有多少?

(2)若恰在第6次取到最后一件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為.設(shè)l1l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C.

(1)寫出C的普通方程;

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3ρ(cosθ+sinθ) =0,Ml3C的交點(diǎn),求M的極徑.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長均為2, , 分別為的中點(diǎn).

(1)證明: 平面;

(2)求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.直線,相交于點(diǎn),且它們的斜率之積是.記點(diǎn)的軌跡為

Ⅰ)求的方程.

Ⅱ)已知直線,分別交直線于點(diǎn),,軌跡在點(diǎn)處的切線與線段交于點(diǎn),求的值.

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