【題目】已知橢圓的左右焦點分別為和，由4個點、、和組成了一個高為，面積為的等腰梯形．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線和橢圓交于兩點、，求面積的最大值．

【答案】（1）（2）3

【解析】

（1）由梯形的條件得，，求得，后得橢圓方程；

（2）直線的斜率不能為0，設(shè)直線方程為，直線與橢圓交于，．

直線方程代入橢圓方程化簡后應用韋達定理得，而的面積為，代入后，變形整理，令換元后由函數(shù)單調(diào)性可得面積的最大值．

解：（1）由條件，得，且，所以．

又，解得，，所以橢圓的方程．

（2）顯然，直線的斜率不能為0，設(shè)直線方程為，直線與橢圓交于，．

聯(lián)立方程，消去得，，

因為直線過橢圓內(nèi)的點，無論為何值，直線和橢圓總相交．

∴，

．

令，設(shè)，易知時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當即時，，取最大值3．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)《人民網(wǎng)》報道，美國國家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計，中國新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國十個地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和）

單位：公頃

地區(qū)

造林總面積

造林方式

人工造林

飛播造林

新封山育林

退化林修復

人工更新

內(nèi)蒙

618484

311052

74094

136006

90382

6950

河北

583361

345625

33333

13507

65653

3643

河南

149002

97647

13429

22417

15376

133

重慶

226333

100600

62400

63333

陜西

297642

184108

33602

63865

16067

甘肅

325580

260144

57438

7998

新疆

263903

118105

6264

126647

10796

2091

青海

178414

16051

159734

2629

寧夏

91531

58960

22938

8298

1335

北京

19064

10012

4000

3999

1053

（1）請根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；

（2）在這十個地區(qū)中，任選一個地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；

（3）在這十個地區(qū)中，從退化林修復面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個地區(qū)，記X為這兩個地區(qū)中退化林修復面積超過六萬公頃的地區(qū)的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）若（為給定的常數(shù)，且），記在區(qū)間上的最小值為，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，右焦點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點，在軸上是否存在點，使得為正三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，然后縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到的圖象，下面四個結(jié)論正確的是（ ）

A. 函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)

B. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱

C. 點是函數(shù)圖象的一個對稱中心

D. 函數(shù)在上的最大值為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（x＞0）．

（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；

（2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失�。�

晉級成功

晉級失敗

合計

男

16

女

50

合計

（1）求圖中的值；

（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)？

（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．

（參考公式：，其中）

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中心在原點，焦點在軸上的橢圓，下頂點，且離心率.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）經(jīng)過點且斜率為的直線交橢圓于， 兩點.在軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

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