Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA與圓O相切于點(diǎn)A，直徑BC⊥OP，連接AB交PO于點(diǎn)D
（Ⅰ）求證：PA=PD；
（Ⅱ）求證：AC•AP=AD•OC．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根據(jù)圓周角定理可得∠BAC=90°，結(jié)合BC⊥OP，根據(jù)同角的余角相等及對(duì)頂角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD為等腰三角形
（II）連接OA，結(jié)合（I）中結(jié)論，可得△OAC∽△PAD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得AC•AP=AD•OA，再由OA，OC均為圓半徑，長(zhǎng)度相等，可得答案．

解答：證明：（I）∵PA與圓O相切于點(diǎn)A，
∴∠PAB=∠ACB
∵BC為圓O的直徑，
∴∠BAC=90°
∴∠ACB=90°-∠B
∵BC⊥OP，
∴∠BDO=90°-∠B
∴∠BDO=∠PDA=∠PAB
即△PAD為等腰三角形
∴PA=PD；
（Ⅱ）連接OA
在△OAC和△PAD中
∴∠OAC=∠OCA=∠PDA=∠PAB
∴△OAC∽△PAD
∴

AP

OA

=

AD

AC

即AC•AP=AD•OA
又∵OA=OC
∴AC•AP=AD•OC

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是弦切角定理，圓周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度不大，是基礎(chǔ)題．