Question

甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10%，20%的某種溶液500ml，同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中各取出l00ml溶液，將其倒入對方的容器攪勻，稱為一次調(diào)和．經(jīng)n-1（n≥2，n∈N^*）次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為a_n，b_n．記a₁=10%，b₁=20%．
（1）試用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（2）求證：數(shù)列{a_n-b_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+b_n}是常數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，經(jīng)n-1（n≥2，n∈N^*）次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為a_n，b_n，從而可用a_n-1，b_n-1表示a_n，b_n；
（2）利用（1）的結(jié)論，化簡可得結(jié)論；
（3）利用（2）的結(jié)論，解方程組可得結(jié)論．

解答： （1）解：由題意，經(jīng)n-1（n≥2，n∈N^*）次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為a_n，b_n，
∴a_n=

400an-1+100bn-1

500

=

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1，
b_n=

400bn-1+100an-1

500

=

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1；
（2）證明：由（1）知，b_n-a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）-（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=

3

5

（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知數(shù)列{b_n-a_n}為首項(xiàng)是b₁-a₁=10%，公比為

3

5

的等比數(shù)列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）（

3

5

）^n-1=10%•（

3

5

）^n-1=

1

10

•（

3

5

）^n-1；
b_n+a_n=（

4

5

b_n-1+

1

5

a_n-1）+（

4

5

a_n-1+

1

5

b_n-1）=b_n-1+a_n-1，
∴數(shù)列{a_n+b_n}是常數(shù)列；
（3）由（2）b_n-a_n=

1

10

•（

3

5

）^n-1①
又a_n+b_n=a_n-1+b_n-1=a₁+b₁=30%=

3

10

②
聯(lián)立①②得a_n=

3

20

-

1

20

•（

3

5

）^n-1，b_n=

3

20

+

1

20

•（

3

5

）^n-1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．