Question

設函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R）其中a∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）當a=0時，不等式f（k-cosx）+f（cos²x-k²）≥0對任意x∈R恒成立．求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）由f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，知f′（x）=-3x²+4x-1，由導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）當a=0時，f（x）=-x³為奇函數(shù)，在x∈R為減函數(shù)，知要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），只要cos²x-cosx≤k²-k對一切x∈R恒成立，由此能求出使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x…（2分）
令f′（x）=-3x²+4x-1＞0，即3x²-4x+1＜0，∴

1

3

＜x＜1，…（3分）
∴f（x）的增區(qū)間為(

1

3

，1)，減區(qū)間為(-∞，

1

3

)和（1，+∞）…（4分）
∴當x=

1

3

時，極小值為f(

1

3

)=-

4

27

；當x=1時，極大值為f（1）=0…（6分）
（2）當a=0時，f（x）=-x³為奇函數(shù)，在x∈R為減函數(shù)…（7分）
∴由f（k-cosx）+f（cos²x-k²）≥0有f（k-cosx）≥-f（cos²x-k²）=f（k²-cos²x），
∴k-cosx≤k²-cos²x，即k²-k≥cos²x-cosx恒成立…（9分）
∵cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

在cosx=-1處取得最大值(-1-

1

2

)2-

1

4

=2，
∴k²-k≥2，k²-k-2≥0，k≤-1或k≥2…（10分）
∴k的取值范圍為k≤-1或k≥2…（12分）

點評：本題考查求函數(shù)f（x）的極大值和極小值，求對于不等式f（k-cosx）+f（cos²x-k²）≥0對任意x∈R恒成立．求k的取值范圍．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．