Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²+ax，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）=

f(x)

x+1

-x在區(qū)間[t，+∞）（t∈N^*）上存在極值，求t的最大值．
（參考數(shù)值：自然對數(shù)的底數(shù)e≈2.71828）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)?f'（x）≥0，即

1

x

+2x+a≥0對x∈（0，+∞）都成立．通過分離參數(shù)a，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）當(dāng)a=1時，g（x）=

lnx

x+1

.g′(x)=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

．由于函數(shù)g（x）在[t，+∞）（t∈N^*）上存在極值，可知：方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，
即方程1+

1

x

-lnx=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解．再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、函數(shù)的零點即可．

解答： 解：（1）：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=lnx+x²+ax，∴f′(x)=

1

x

+2x+a．
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f'（x）≥0，即

1

x

+2x+a≥0對x∈（0，+∞）都成立．
∴-a≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）都成立．
當(dāng)x＞0時，

1

x

+2x≥2

1 x •2x

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=2x，即x=

2

2

時，取等號．
∴-a≤2

2

，即a≥-2

2

．
∴a的取值范圍為[-2

2

，+∞)．
（2）當(dāng)a=1時，g(x)=

f(x)

x+1

-x=

lnx+x2+x

x+1

-x=

lnx

x+1

．
g′(x)=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

．
∵函數(shù)g（x）在[t，+∞）（t∈N^*）上存在極值，
∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，
即方程1+

1

x

-lnx=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解．
令φ(x)=1+

1

x

-lnx（x＞0），
由于x＞0，則φ′(x)=-

1

x2

-

1

x

＜0，
∴函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∵φ(3)=

4

3

-ln3=

1

3

ln

e4

27

＞

1

3

ln

2.54

27

＞0，
φ(4)=

5

4

-ln4=

1

4

ln

e5

256

＜

1

4

ln

35

256

＜0，
∴函數(shù)φ（x）的零點x₀∈（3，4）．
∵方程φ（x）=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，t∈N^*
∴t≤3．
∵t∈N^*，
∴t的最大值為3．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、基本不等式的性質(zhì)，考查了分離參數(shù)法化為等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．