Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ]
【解析】解：如下圖所示：
分別取棱BB1、B1C1的中點M、N，連接MN，連接BC1 ，
∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC1 ， EF∥BC1 ，
∴MN∥EF，又MN平面AEF，EF平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四邊形AENA1為平行四邊形，
∴A1N∥AE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是側面BCC1B1內一點，且A1P∥平面AEF，
則P必在線段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M= = = ，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N= ，
∴△A1MN為等腰三角形，
當P在MN中點O時A1P⊥MN，此時A1P最短，P位于M、N處時A1P最長，
A1O= = = ，
A1M=A1N= ，
所以線段A1P長度的取值范圍是[ ]．
所以答案是：[ ]．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的性質，掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行即可以解答此題．