【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,點(diǎn)在線段PC上,且三棱錐的體積是四棱錐的體積的,,平面.
(1)若是的中點(diǎn),證明:直線∥平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)要證明直線∥平面,只需證明∥,即可求得答案;
(2)取的中點(diǎn),連接,過作交于點(diǎn),求證為所求二面角的平面角,結(jié)合已知條件,即可求得答案.
(1)根據(jù)題意畫出立體圖形,如圖:
由題意,,
即,
則,即點(diǎn)為的三等分點(diǎn),
是的中點(diǎn),
為的中點(diǎn),
連接交于點(diǎn),則為的中點(diǎn),連接,
在中,為中位線,故∥,
不在平面內(nèi),在平面內(nèi),
∥平面;
(2)取的中點(diǎn),連接,過作交于點(diǎn),
為等邊三角形,
,
平面,在平面內(nèi),
,
平面,
由三垂線定理可知,為所求二面角的平面角,
為等邊三角形,,
,
又,
,
, ,
,
可得:,
即二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,直線l過點(diǎn),交拋物線于A、B兩點(diǎn).
(1)若P為中點(diǎn),求l的方程;
(2)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)結(jié)論中,錯(cuò)誤的序號(hào)是___________.①以直角坐標(biāo)系中軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為,若曲線C上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;②在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適,這樣的帶狀區(qū)域?qū)挾仍綄,說明模型擬合精度越高;③設(shè)隨機(jī)變量,若,則;④已知為滿足能被9整除的正數(shù)的最小值,則的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字,記為,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字把乙猜的數(shù)字記為,且,若,則稱甲乙“心有靈犀”,現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲,得出他們“心有靈犀”的概率為________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD為菱形,E為DD1中點(diǎn).
(1)求證:BD1∥平面ACE;
(2)求證:BD1⊥AC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機(jī)構(gòu)用“10分制”調(diào)查了各階層人士對(duì)某次國際馬拉松賽事的滿意度,現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如圖莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉:
(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)若滿意度不低于分,則稱該被調(diào)查者的滿意度為“極滿意”,求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人滿意度是“極滿意”的概率;
(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù),若從該被調(diào)查群體人數(shù)很多任選3人,記表示抽到“極滿意”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60,G為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:FG||平面BED;
(Ⅱ)求證:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
(1)求的解析式;
(2)若對(duì)任意的,存在,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知定點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)M在軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N在軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且滿足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)點(diǎn)Q為圓上一點(diǎn),由Q向C引切線,切點(diǎn)分別為S、T,記分別為切線QS,QT的斜率,當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)時(shí),求的取值范圍.
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