Question

已知（2+3x）¹⁰=a₀+a₁（2+x）+a₂（2+x）²+…+a₁₀（2+x）¹⁰
（1）求a₂的值（用代數(shù)式表示）；    
（2）求a₀+a₂+a₄+…+a₁₀的值；
（3）求a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)（2+3x）¹⁰ =[-4+3（x+2）]¹⁰=a₀+a₁（2+x）+a₂（2+x）²+…+a₁₀（2+x）¹⁰ ，求得 a₂ 的值．
（2）在所給的等式中中，分別令x=-1，令x=-3，可分別得到一個(gè)等式，根據(jù)這兩個(gè)等式求得a₀+a₂+a₄+…+
a₁₀ 的值．
（3）對(duì)于所給的等式，兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，再令x=-1，即可求得a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀ 的值．

解答： 解：（1）∵（2+3x）¹⁰=[-4+3（x+2）]¹⁰=a₀+a₁（2+x）+a₂（2+x）²+…+a₁₀（2+x）¹⁰ ，
∴a₂=

C

2 10

•（-4）⁸•3²=9×4⁸×

C

2 10

．
（2）在（2+3x）¹⁰=a₀+a₁（2+x）+a₂（2+x）²+…+a₁₀（2+x）¹⁰ 中，
令x=-1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀ =1，
再令x=-3，可得a₀ -a₁+a₂-a₃+a₄+…+a₁₀ =7¹⁰，
∴a₀+a₂+a₄+…+a₁₀ =

710+1

2

．
（3）對(duì)于等式 （2+3x）¹⁰=a₀+a₁（2+x）+a₂（2+x）²+…+a₁₀（2+x）¹⁰ ，
兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)可得30（2+3x）⁹ =a₁ +2a₂（2+x）+…+10a₁₀（2+x）⁹ ，
再令x=-1，a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀ =-30．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式的系數(shù)和常用的方法是賦值法，屬于基礎(chǔ)題．