Question

已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為，，試比較與的大小.

 

Answer 1

【答案】

當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解析】

試題分析：本題中，要討論是否等于1.可以先將等比數(shù)列的前項(xiàng)和表示出來(lái)，再將用表示出來(lái).以是否等于1分兩大類(lèi)討論與的大小.由易知；，用作差法討論的正負(fù)以比較大小關(guān)系.注意將寫(xiě)成幾個(gè)因式的乘積,通過(guò)判斷各因式的正負(fù)來(lái)定的正負(fù).最后結(jié)合兩大類(lèi)討論的情況作一總結(jié).

試題解析：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，所以其前項(xiàng)和.

,所以數(shù)列的前項(xiàng)和

（1）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122010082629592790/SYS201312201010092914105651_DA.files/image014.png">，，      4分

（2）當(dāng)時(shí)，，

.

所以.令，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122010082629592790/SYS201312201010092914105651_DA.files/image036.png">，所以.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122010082629592790/SYS201312201010092914105651_DA.files/image014.png">，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以.故當(dāng)時(shí)，恒有

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)      10分

②當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，即   12分

③當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，即    14分

綜上所述，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.      16分

考點(diǎn)：1.等比數(shù)列前項(xiàng)和；2.作差法比較大小；3.一元二次不等式與相應(yīng)的二次方程的聯(lián)系.