Question

過(guò)拋物線y²=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的重心的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____．

Answer 1

由題意知拋物線焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F（1，0）的直線為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入拋物線方程消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∵k²≠0，∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1．
∵|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 4(k2+2)2 k4 -4]

=8，
∴k²=1．
∴△OAB的重心的橫坐標(biāo)為x=

0+x1+x2

3

=2．