Question

過拋物線y²=4x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=8，O為坐標(biāo)原點，則△OAB的重心的橫坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：先求得拋物線焦點坐標(biāo)，進而設(shè)出過焦點的直線方程代入拋物線方程消去x，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂=，代入|AB|的表達式中即可求得k，進而根據(jù)三個定點的橫坐標(biāo)求得△OAB的重心的橫坐標(biāo)．

解答：解：由題意知拋物線焦點F（1，0），
設(shè)過焦點F（1，0）的直線為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入拋物線方程消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∵k²≠0，∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1．
∵|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 4(k2+2)2 k4 -4]

=8，
∴k²=1．
∴△OAB的重心的橫坐標(biāo)為x=

0+x1+x2

3

=2．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常涉及直線與圓錐曲線聯(lián)立消元后利用韋達定理解決問題．