Question

設(shè)，，其中是常數(shù)，且．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）證明：對(duì)任意正數(shù)，存在正數(shù)，使不等式成立；
（3）設(shè)，且，證明：對(duì)任意正數(shù)都有：．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，取極大值，但沒(méi)有極小值（2）見解析（3）見解析

（1）∵， -----------------1分
由得，，
∴，即，解得，-----------------3分
故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴當(dāng)時(shí)，取極大值，但沒(méi)有極小值．-----------------4分
（2）∵，
又當(dāng)時(shí)，令，則，
故，
因此原不等式化為，即， -----------------6分
令，則，
由得：，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故當(dāng)時(shí)，取最小值，-----------------8分
令，則．
故，即．
因此，存在正數(shù)，使原不等式成立．-----------------10分
（3）對(duì)任意正數(shù)，存在實(shí)數(shù)使，，
則，，
原不等式，
-----------------14分
由（1）恒成立，
故，
取，
即得，
即，故所證不等式成立． -----------------14分