Question

設(shè)

m

=(2，1)，

n

=(sinθ，cosθ)，其中θ∈(0，

π

2

)為過(guò)點(diǎn)A（1，4）的直線l的傾斜角，若當(dāng)

m

•

n

最大時(shí)，直線l恰好與圓（x+1）²+（y-2）²=r²（r＞0）相切，則r=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,圓的切線方程

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：根據(jù)向量數(shù)量積公式和輔助角公式的出當(dāng)

m

•

n

最大時(shí)θ的值，從而得到直線l的方程，再由圓心到直線的距離等于半徑列式運(yùn)算即可．

解答： 解：∵

m

=(2，1)，

n

=(sinθ，cosθ)，
∴

m

•

n

=2sinθ+cosθ
=

5

sin(θ+μ)，其中tanμ=

1

2

．
∵θ∈(0，

π

2

)
∴當(dāng)θ+μ=

π

2

時(shí)，

m

•

n

=2sinθ+cosθ有最大值．
此時(shí)tanμ=

1

2

，
即直線l的斜率為2
∴直線l的方程為y-4=2（x-1）
即，2x-y+2=0．
∵圓（x+1）²+（y-2）²=r²（r＞0）的圓心為（-1，2）
∴圓心到直線的距離d=

|-2-2+2|

5

=

2 5

5

，
∴r=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，三角恒等變換直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)的綜合應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，屬于難題．