Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點P在橢圓上，且△PF₁F₂，的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點P的坐標為（2，1），不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B不同兩點，設線段AB的中點為M，且M，O，P三點共線．設點P到直線l的距離為d，求d的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得2c=2，且2a+2c=6，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+m，m≠0，由

y=kx+m 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達定理結合已知條件能推導出點P到直線l的距離d的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得2c=2，且2a+2c=6，
解得a=2，c=1，又b²=4-1=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時，由橢圓的對稱性可知：
點M在x軸上，且與原點O不重合，由題意知M、O、P三點不共線，不符合題設條件．
所以可設直線l的方程為y=kx+m，m≠0，
由

y=kx+m 3x2+4y2=12

，消去y并整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，…①
則△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²+3）（4m²-12）＞0，即4k²-m²+3＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且x1+x2=-

8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

，則點M（-

4km

4k2+3

，

3m

4k2+3

），
因為M，O，P三點共線，則k_OM=k_OP，即

3m

4k2+3

=

-2km

4k2+3

，
m≠0，∴k=-

3

2

，
此時方程①為3x²-3mx+m²-3=0，且12-m²＞0，
因為d=

|8-2m|

32+22

=

2|m-4|

13

，
所以d∈（

8 13 -4 39

13

，

8 13 +4 39

13

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點到直線的距離的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．