函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導.導函數(shù)f(x)是減函數(shù),且f(x)>0,x0∈(0,+∞).g(x)=kx+m是y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程.
(1)用x0,f(x0),f(x0)表示m;
(2)證明:當x∈(0,+∞)時,g(x)≥f(x);
(3)若關于x的不等式x2+1≥ax+b≥
3
2
x
2
3
在(0,+∞)上恒成立,其中a,b為實數(shù),求b的取值范圍及a,b所滿足的關系.
(1)y-f(x0)=f'(x0)(x-x0
∴m=f(x0)-x0f'(x0).
(2)證明:令h(x)=g(x)-f(x),則h'(x)=f'(x0)-f'(x),h'(x0)=0.
因為f'(x)遞減,所以h'(x)遞增,因此,當x>x0時,h'(x)>0;
當x<x0時,h'(x)<0.所以x0是h(x)唯一的極值點,且是極小值點,
可知h(x)的最小值為0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x).
(3)把ax移到兩邊得x2+1-ax≥b≥
3
2
x
2
3
-ax

令y1=x2+1-ax,y2=
3
2
x
2
3
-ax
y/2
=x-
1
3
-a

a
2
<0
時,(y1min=1,(y2max=0,∴1≥b≥0
a
2
≥0
時,(y1)min=1-
a2
4
,(y2)max=
1
2a2
,
1-
a2
4
≥b≥
1
2a2
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若對于任意x∈[-1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)判斷的奇偶性;(Ⅱ)設方程的兩實根為,證明函數(shù)上的增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足對?x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當x∈[2,3]時f(x)=-2(x-3)2,若函數(shù)y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三個零點,則a的取值范圍為( 。
A.(0,
2
2
)
B.(0,
3
3
)
C.(0,
5
5
)
D.(0,
6
6
)

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=(
x-1
x+1
)2
(x>1),
(1)若g(x)=
1
f-1(x)
+
x
+2
,求g(x)的最小值;
(2)若不等式(1-
x
)•f-1(x)>m•(m-
x
)
對于一切x∈[
1
4
1
2
]
恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
4x+a
1+x2
的單調(diào)遞增區(qū)間為[m,n]
(1)求證f(m)f(n)=-4;
(2)當n-m取最小值時,點p(x1,y1),Q(x2,y2)(a<x1<x2<n),是函數(shù)f(x)圖象上的兩點,若存在x0使得f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
,x求證x1<|x0|<x2

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3,g(x)=(6+a)•2x-1
(Ⅰ)若f(1)=f(3),求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,判斷函數(shù)F(x)=
2
1+g(x)
的單調(diào)性,并給出證明;
(Ⅲ)當x∈[-2,2]時,f(x)≥a(a∉(-4,4))恒成立,求實數(shù)a的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設函數(shù)f(x)=x3-
9
2
x2+6x-a
,
(1)對于任意實數(shù)x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且僅有一個實根,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

定義兩種運算:,,則
是______________函數(shù),(填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四個中的一個)

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