【題目】在平面直角坐標系中,已知直線與橢圓交于點, 軸上方),且.設(shè)點軸上的射影為,三角形的面積為2(如圖1.

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)平行于的直線與橢圓相交,其弦的中點為.

①求證:直線的斜率為定值;

②設(shè)直線與橢圓相交于兩點, 軸上方),點為橢圓上異于, , , 一點,直線于點于點,如圖2,求證: 為定值.

【答案】1 (2)

【解析】試題分析:(1)設(shè),已知,即,所以,故,即,再根據(jù)橢圓經(jīng)過解得,從而可得橢圓的方程;(2)設(shè)平行的直線的方程為,且,① 聯(lián)立,得到,根據(jù)韋達定理求得, ,從而可得直線的斜率為定值,②由題意可知,求出.設(shè),求出 的坐標,利用弦長公式分別求出的值,將表示,化簡消去即可的結(jié)論.

試題解析:1)由題意,可設(shè),已知,即,

所以,故,即

又橢圓經(jīng)過,即 ,解得

故所求橢圓的方程為:

(2)設(shè)平行的直線的方程為,且

聯(lián)立,得到

所以,

故,直線的斜率為(定值)

②由題意可知

聯(lián)立方程組

設(shè),先考慮直線斜率都存在的情形:

直線,

聯(lián)立方程組: ,

直線,

聯(lián)立方程組: ,

,

,

所以

當直線斜率不存在時結(jié)果仍然成立.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,AC是圓O的直徑,點B在圓O上,∠BAC30°,BMAC于點MEA⊥平面ABC,FCEAAC4,EA3,FC1.

(1)證明:EMBF

(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

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【題目】設(shè)函數(shù), ).

(1)當時,若函數(shù)的圖象在處有相同的切線,求的值;

(2)當時,若對任意和任意,總存在不相等的正實數(shù),使得,求的最小值;

(3)當時,設(shè)函數(shù)的圖象交于 兩點.求證: .

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【題目】在四棱錐PABCD中,ADBC,平面PAC⊥平面ABCD,AB=AD=DC=1,

ABC=DCB=60,EPC上一點.

Ⅰ)證明:平面EAB⊥平面PAC

Ⅱ)若△PAC是正三角形,EPC中點,求三棱錐AEBC的體積.

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【題目】隨著共享單車的成功運營,更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨機抽取人對共享產(chǎn)品對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進行了問卷調(diào)查,并對參與調(diào)查的人中的性別以及意見進行了分類,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:

(Ⅰ)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過的前提下,認為對共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系?

Ⅱ)為了答謝參與問卷調(diào)查的人員,該公司對參與本次問卷調(diào)查的人員隨機發(fā)放張超市的購物券,購物券金額以及發(fā)放的概率如下:

現(xiàn)有甲、乙兩人領(lǐng)取了購物券,記兩人領(lǐng)取的購物券的總金額為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式 .

臨界值表:

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【題目】橢圓經(jīng)過為坐標原點,線段的中點在圓上.

(1)求的方程;

(2)直線不過曲線的右焦點,與交于兩點,且與圓相切,切點在第一象限, 的周長是否為定值?并說明理由.

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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為,其中為參數(shù),且在直角坐標系中,以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系.

1)求曲線的極坐標方程;

2)設(shè)是曲線上的一點,直線被曲線截得的弦長為,求點的極坐標.

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【題目】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A、B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶,得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下:

A地區(qū):

62

73

81

92

95

85

74

64

53

76


78

86

95

66

97

78

88

82

76

89

B地區(qū):

73

83

62

51

91

46

53

73

64

82


93

48

95

81

74

56

54

76

65

79

)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度的平均值及分散程度(不要求算出具體值,給出結(jié)論即可):

)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級:

滿意度評分

低于70

70分到89

不低于90

滿意度等級

不滿意

滿意

非常滿意

記事件C“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級,假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求C的概率。

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【題目】已知點在橢圓上,且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若為橢圓的右頂點,點是橢圓上不同的兩點(均異于)且滿足直線斜率之積為.試判斷直線是否過定點,若是,求出定點坐標,若不是,說明理由.

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