【題目】已知點在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的右頂點，點是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由.

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由點在橢圓上，且橢圓的離心率為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立，得，根據(jù)韋達定理、斜率公式及直線與斜率之積為，可得，解得或，將以上結(jié)論代入直線方程即可得結(jié)果.

試題解析：（1）可知離心率，故有，

又有點在橢圓上，代入得，

解得， ，

故橢圓的方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為

， ， ，

聯(lián)立得.

∴， .

∵直線與斜率之積為.

而點，∴.

∴.

化簡得，

∴，

化簡得，解得或，

當(dāng)時，直線的方程為直線與斜率之積為，過定點.

代入判別式大于零中，解得.

當(dāng)時，直線的方程為，過定點，不符合題意.

故直線過定點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于點， （在軸上方），且.設(shè)點在軸上的射影為，三角形的面積為2（如圖1）.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)平行于的直線與橢圓相交，其弦的中點為.

①求證：直線的斜率為定值；

②設(shè)直線與橢圓相交于兩點， （在軸上方），點為橢圓上異于， ， ， 一點，直線交于點， 交于點，如圖2，求證： 為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點坐標為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點，過點的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點，直線與直線相交于點，試證明：直線與軸平行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【2018貴州遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】設(shè)拋物線的準線與軸交于，拋物線的焦點為，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線的一個交點為；自引直線交拋物線于兩個不同的點，設(shè)．

（Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)).

（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，且，求直線的傾斜角的值.

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【題目】已知橢圓與直線都經(jīng)過點.直線與平行，且與橢圓交于兩點，直線與軸分別交于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明： 為等腰三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)中國日報網(wǎng)報道：2017年11月13日，TOP500發(fā)布的最新一期全球超級計算機500強榜單顯示，中國超算在前五名中占據(jù)兩席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器。為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度，某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進行了12次測試，結(jié)果如下（數(shù)值越小，速度越快，單位是MIPS）

測試1

測試2

測試3

測試4

測試5

測試6

測試7

測試8

測試9

測試10

測試11

測試12

品牌A

3

6

9

10

4

1

12

17

4

6

6

14

品牌B

2

8

5

4

2

5

8

15

5

12

10

21

設(shè)分別表示第次測試中品牌A和品牌B的測試結(jié)果，記

（Ⅰ）求數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（Ⅱ）從滿足的測試中隨機抽取兩次，求品牌A的測試結(jié)果恰好有一次大于品牌B的測試結(jié)果的概率；

（Ⅲ）經(jīng)過了解，前6次測試是打開含有文字和表格的文件，后6次測試是打開含有文字和圖片的文件.請你依據(jù)表中數(shù)據(jù)，運用所學(xué)的統(tǒng)計知識，對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進行評價.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】衡陽市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者，現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名后按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，則應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的條件下，該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，已知點，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為，過點作極坐標方程為的直線的平行線，分別交曲線于兩點.

（1）寫出曲線和直線的直角坐標方程；

（2）若成等比數(shù)列，求的值.

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