Question

設函數(shù)f（x）=（x-3）³+x-1，{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，則a₁+a₂+…+a₇=（ ）
A．0
B．7
C．14
D．21

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）=（x-3）³+x-1，可得f（x）-2=（x-3）³+x-3，構造函數(shù)g（x）=f（x）-2，從而g（x）關于（3，0）對稱，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，從而g（a₄）為g（x）與x軸的交點，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．
解答：解：∵f（x）=（x-3）³+x-1，∴f（x）-2=（x-3）³+x-3，
令g（x）=f（x）-2
∴g（x）關于（3，0）對稱
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=14
∴f（a₁）-2+f（a₂）-2+…+f（a₇）-2=0
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0
∴g（a₄）為g（x）與x軸的交點
因為g（x）關于（3，0）對稱，所以a₄=3
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=21，
故選D．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查函數(shù)的對稱性，考查數(shù)列的性質，需要一定的基本功．