Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面SA∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面SAC；
（3）求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接OE，利用OE為△SAC的中位線，可得SA∥OE，由此能夠證明SA∥平面BDE；
（2）先證明BD⊥SO，再證明BD⊥AC，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面SAC，由此能夠證明平面BDE⊥平面SAC；
（3）取AB的中點(diǎn)F，連接SF，OF，則SF⊥AB，OF⊥AB，所以∠SFO為二面角S-AB-C的平面角，利用余弦函數(shù)，可求二面角S-AB-C的余弦值．

解答： （1）證明：連接OE，
因?yàn)镋為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，OE為△SAC的中位線，
所以SA∥OE，
因?yàn)镾A?平面BDE，OE?平面BDE，
所以SA∥平面BDE；
（2）證明：因?yàn)镾B=SD，O是BD中點(diǎn)，
所以BD⊥SO，
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC，
因?yàn)锳C∩SO=O，所以BD⊥平面SAC，
又因?yàn)锽D?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面SAC；
（3）解：取AB的中點(diǎn)F，連接SF，OF，則SF⊥AB，OF⊥AB，
所以∠SFO為二面角S-AB-C的平面角，
設(shè)AB=2a，則SF=

3

a，OF=a，
所以cos∠SFO=

OF

SF

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判定，考查面面角，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．