Question

設f（x）（x∈R）為偶函數(shù)，且f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

）恒成立，當x∈[2，3]時，f（x）=x，則當x∈[-2，0]時，f（x）=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)的周期是2，利用函數(shù)的周期和奇偶性即可求出f（x）在[-2，0]上的表達式．

解答： 解：∵f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

），
∴f（x）=f（x+2），
即函數(shù)f（x）的周期是2．
當x∈[0，1]時，x+2∈[2，3]，
∴f（x）=f（x+2）=x+2，x∈[0，1]，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=-x+2，
當x∈[-2，-1]時，x+2∈[0，1]，
此時f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，
∴當x∈[-2，0]時，f（x）=

-x+2，x∈[-1，0] x+4，x∈[-2，-1)

，
故答案為：f（x）=

-x+2，x∈[-1，0] x+4，x∈[-2，-1)

．

點評：本題主要考查函數(shù)表達式的求法，利用條件求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性和奇偶性是解決本題的關鍵．