Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0）
（1）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax²-3x+lnx（a＞0），
∴f′（x）=2ax-3+，x＞0
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴k=2a-2=0，∴a=1，
∴f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+，x＞0，
令f′（x）=2x-3+＜0，可得＜x＜1；令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），
當在區(qū)間時．∴f（x）在區(qū)間[，1]上為增函數(shù)，f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)．（4分）
∴f_max（x）=f（2）=-2+ln2，f_min（x）=f（1）=-2．（6分）
（2）原函數(shù)定義域為（0，+∞）
∴f′（x）=2ax-3+=，∵函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立
由于a＞0，設(shè)g（x）=2ax²-3x+1（x∈（0，+∞））
由題意知△=9-8a≤0
∴a≥
所以a的取值范圍為：a≥．（12分）
分析：（1）求導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，可求a的值，令f′（x）＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；令f′（x）＞0，可得單調(diào)增區(qū)間；然后確定函數(shù)的極值，最后比較極值與端點值的大小，從而確定函數(shù)的最大和最小值．
（2）要保證原函數(shù)在定義內(nèi)單調(diào)，需保證其導函數(shù)在定義域上不變號，分類討論，從而求得參數(shù)的范圍．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，導數(shù)中常見的恒成立問題，屬中檔題．