【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在處的切線斜率為2,試求a的值及此時的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間(其中…為自然對數(shù)的底數(shù))上有唯一的零點,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1),;(2)或.
【解析】
(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可;
(2)討論參數(shù)的值,確定函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,從而根據(jù)零點的個數(shù),得出實數(shù)a的取值范圍.
(1)由,().
由已知.
可得:
又此時.
所以所求的切線方程為:.
即:
(2),其中
①當時,在區(qū)間恒成立,在區(qū)間單調(diào)遞增
又∵,∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點,符合題意.
②當時,在區(qū)間恒成立,在區(qū)間單調(diào)遞減
又∵,∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點,符合題意.
③當時
(i)時,,單調(diào)遞減
又∵,,∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點
(ii)當時,,單調(diào)遞增
∴要使在區(qū)間上有唯一的零點,只有當時符合題意
即,即
∴時,函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點;
∴綜上a的取值范圍是或.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間,我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品,保障抗疫一線醫(yī)療物資供應,在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時.狠抓質(zhì)量管理,不定時抽查口罩質(zhì)量,該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個,將其質(zhì)量指標值分成以下五組:,,,,,得到如下頻率分布直方圖.
(1)規(guī)定:口罩的質(zhì)量指標值越高,說明該口罩質(zhì)量越好,其中質(zhì)量指標值低于130的為二級口罩,質(zhì)量指標值不低于130的為一級口罩.現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩,再從中抽取3個,記其中一級口罩個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望;
(2)在2020年“五一”勞動節(jié)前,甲,乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購,其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為,,記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為,,
①求的分布列及數(shù)學期望;
②求當的數(shù)學期望取最大值時正整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近幾年,電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動了快遞業(yè)的迅速增長,快遞公司攬收價格一般是采用“首重+續(xù)重”的計價方式.首重是指最低的計費重量,續(xù)重是指超過首重部分的計費重量,不滿一公斤按一公斤計費.某快遞網(wǎng)點將快件的攬收價格定為首重(不超過一公斤)8元,續(xù)重2元/公斤(例如,若一個快件的重量是0.6公斤,按8元計費;若一個快件的重量是1.4公斤,按元元元計費).根據(jù)歷史數(shù)據(jù),得到該網(wǎng)點攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示
(1)根據(jù)樣本估計總體的思想,將頻率視作概率,求該網(wǎng)點攬收快件的平均價格;
(2)為了獲得更大的利潤,該網(wǎng)點對“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本(單位:元)與當天攬收的快遞件數(shù)(單位:百件)之間的關(guān)系”進行調(diào)查研究,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
每天攬收快遞件數(shù)(百件) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每件快遞的平均成本(元) | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個回歸方程:
方程甲:,方程乙:.
①為了評價兩種模型的擬合效果,根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應回歸方程,將以下表格填寫完整(結(jié)果保留一位小數(shù)),分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和,,并依此判斷哪個模型的擬合效果更好(備注:稱為相應于點的殘差,殘差平方和;
每天攬收快遞件數(shù)/百件 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天快遞的平均成本/元 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 | |
模型甲 | 預報值 | 5.2 | 5.0 | 4.8 | ||
殘差 | 0.2 | 0.4 | ||||
模型乙 | 預報值 | 5.5 | 4.8 | 4.5 | ||
預報值 | 0 | 0.1 |
②預計該網(wǎng)點今年6月25日(端午節(jié))一天可以攬收1000件快遞,試根據(jù)①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計該網(wǎng)點當天的總利潤(總利潤=(平均價格-平均成本)×總件數(shù)).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,與圓有且只有兩個公共點.
(1)求拋物線的方程;
(2)經(jīng)過的動直線與拋物線交于兩點,試問在直線上是否存在定點,使得直線的斜率之和為直線斜率的倍?若存在,求出定點;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,,,,,.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點,使得平面與平面所成銳二面角為?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,動直線交拋物線于A,B兩點.
(1)若,證明直線過定點,并求出該定點;
(2)點M為的中點,過點M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點;點N為的中點,過點N作與y軸垂直的直線交拋物線于點P.設△的面積,△的面積為.
(i)若過定點,求使取最小值時,直線的方程;
(ii)求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點,F為線段BC上的動點.
(1)求證:AE⊥平面PBC;
(2)試確定點F的位置,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,圓經(jīng)過橢圓的左,右焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線與橢圓交于點,線段的中點為,的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點,是否存在實數(shù),使得的面積與(為原點)的面積相等?若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
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