【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，試求a的值及此時的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1），；（2）或.

【解析】

（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；

（2）討論參數(shù)的值，確定函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，從而根據(jù)零點的個數(shù)，得出實數(shù)a的取值范圍.

（1）由，（）.

由已知.

可得：

又此時.

所以所求的切線方程為：.

即：

（2），其中

①當時，在區(qū)間恒成立，在區(qū)間單調(diào)遞增

又∵，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，符合題意.

②當時，在區(qū)間恒成立，在區(qū)間單調(diào)遞減

又∵，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點，符合題意.

③當時

（i）時，，單調(diào)遞減

又∵，，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點

（ii）當時，，單調(diào)遞增

∴要使在區(qū)間上有唯一的零點，只有當時符合題意

即，即

∴時，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；

∴綜上a的取值范圍是或.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時．狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標值不低于130的為一級口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；

（2）在2020年“五一”勞動節(jié)前，甲，乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，，

①求的分布列及數(shù)學期望；

②求當的數(shù)學期望取最大值時正整數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動了快遞業(yè)的迅速增長，快遞公司攬收價格一般是采用“首重+續(xù)重”的計價方式.首重是指最低的計費重量，續(xù)重是指超過首重部分的計費重量，不滿一公斤按一公斤計費.某快遞網(wǎng)點將快件的攬收價格定為首重（不超過一公斤）8元，續(xù)重2元/公斤（例如，若一個快件的重量是0.6公斤，按8元計費；若一個快件的重量是1.4公斤，按元元元計費）.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，得到該網(wǎng)點攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示

（1）根據(jù)樣本估計總體的思想，將頻率視作概率，求該網(wǎng)點攬收快件的平均價格；

（2）為了獲得更大的利潤，該網(wǎng)點對“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）與當天攬收的快遞件數(shù)（單位：百件）之間的關系”進行調(diào)查研究，得到相關數(shù)據(jù)如下表：

每天攬收快遞件數(shù)（百件）

2

3

4

5

8

每件快遞的平均成本（元）

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程：

方程甲：，方程乙：.

①為了評價兩種模型的擬合效果，根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應回歸方程，將以下表格填寫完整（結果保留一位小數(shù)），分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和，，并依此判斷哪個模型的擬合效果更好（備注：稱為相應于點的殘差，殘差平方和；

每天攬收快遞件數(shù)/百件

2

3

4

5

8

每天快遞的平均成本/元

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

模型甲

預報值

5.2

5.0

4.8

殘差

0.2

0.4

模型乙

預報值

5.5

4.8

4.5

預報值

0

0.1

②預計該網(wǎng)點今年6月25日（端午節(jié)）一天可以攬收1000件快遞，試根據(jù)①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計該網(wǎng)點當天的總利潤（總利潤=（平均價格-平均成本）×總件數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，，是的中點，點在上，且.

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，與圓有且只有兩個公共點．

（1）求拋物線的方程；

（2）經(jīng)過的動直線與拋物線交于兩點，試問在直線上是否存在定點，使得直線的斜率之和為直線斜率的倍？若存在，求出定點；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,四棱錐中，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，動直線交拋物線于A，B兩點.

（1）若，證明直線過定點，并求出該定點；

（2）點M為的中點，過點M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點；點N為的中點，過點N作與y軸垂直的直線交拋物線于點P.設△的面積，△的面積為.

（i）若過定點，求使取最小值時，直線的方程；

（ii）求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點．

（1）求證：AE⊥平面PBC；

（2）試確定點F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經(jīng)過橢圓的左，右焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于點，線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，是否存在實數(shù)，使得的面積與（為原點）的面積相等？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

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