(2013•寧波二模)已知函數(shù)f(x)=a(x-1)2+lnx.a(chǎn)∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=-
1
4
時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)都在不等式組
x≥1
y≤x-1
所表示的區(qū)域內(nèi),求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)a=-
1
4
時(shí)求出f′(x),在定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0,f'(x)<0即可;
(Ⅱ)由題意得a(x-1)2+lnx≤x-1對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,設(shè)g(x)=a(x-1)2+lnx-x+1,x∈[1,+∞),則問題等價(jià)于g(x)max≤0,x∈[1,+∞)成立,求導(dǎo)數(shù)g′(x),按照a的范圍分類進(jìn)行討論可得g(x)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性可得g(x)的最大值,由最大值情況即可求得a的范圍;
解答:解:(Ⅰ)a=-
1
4
,f(x)=-
1
4
(x-1)2+lnx
(x>0),
f′(x)=-
1
2
x+
1
2
+
1
x
=
-x2+x+2
2x
=
-(x-2)(x+1)
2x

當(dāng)0<x<2時(shí),f'(x)>0,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x>2時(shí),f'(x)<0,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減;
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞). 
(Ⅱ)由題意得a(x-1)2+lnx≤x-1對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,
設(shè)g(x)=a(x-1)2+lnx-x+1,x∈[1,+∞),則有g(shù)(x)max≤0,x∈[1,+∞)成立.
求導(dǎo)得g′(x)=
2ax2-(2a+1)x+1
x
=
(2ax-1)(x-1)
x
,
①當(dāng)a≤0時(shí),若x>1,則g'(x)<0,所以g(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減,g(x)max=g(1)=0≤0成立,得a≤0;
②當(dāng)a≥
1
2
時(shí),x=
1
2a
≤1
,g(x)在x∈[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以存在x>1,使g(x)>g(1)=0,此時(shí)不成立;    
③當(dāng)0<a<
1
2
時(shí),x=
1
2a
>1,則f(x)在[1,
1
2a
]上單調(diào)遞減
,[
1
2a
,+∞)單調(diào)遞增
,
則存在
1
a
∈[
1
2a
,+∞)
,有g(
1
a
)=a(
1
a
-1)2+ln
1
a
-
1
a
+1=-lna+a-1>0
,所以不成立;
綜上得a≤0.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查恒成立問題,考查分類討論思想,恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決,解決(Ⅱ)問的關(guān)鍵是正確理解題意并能合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧波二模)設(shè)公比大于零的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,S4=5S2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足b1=1,Tn=n2bn,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)Cn=(Sn+1)(nbn-λ),若數(shù)列{Cn}是單調(diào)遞減數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧波二模)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對(duì)任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立,則( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧波二模)如圖是某學(xué)校抽取的n個(gè)學(xué)生體重的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3,第3個(gè)小組的頻數(shù)為18,則的值n是
48
48

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧波二模)已知兩非零向量
a
,
b
,則“
a
b
=|
a
||
b
|”是“
a
b
共線”的( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案