Question

【題目】已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1，a∈R．
（1）當a=﹣3時，求證：f（x）=在R上是減函數(shù)；
（2）如果對x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當a=﹣3時，f（x）=﹣3x3+3x2﹣x+1，

∵f′（x）=﹣9x2+6x﹣1=﹣（3x﹣1）2≤0，

∴f（x）在R上是減函數(shù)；

（2）解：∵x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，

即x∈R不等式3ax2+6x﹣1≤4x恒成立，

∴x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，

當a≥0時，x∈R，3ax2+2x﹣1≤0不恒成立，

當a＜0時，x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，

即△=4+12a≤0，

∴a≤﹣

【解析】（1）把a=﹣3代入函數(shù)解析式中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導函數(shù)，配方可知導函數(shù)恒小于等于0，進而得到f（x）在R上為減函數(shù)；（2）求出f（x）的導函數(shù)，把求出的導函數(shù)代入到已知的不等式中，移項使不等式的右邊為0，左邊為一個二次函數(shù)，討論a≥0時，不等式顯然不恒成立；a＜0時，不等式要恒成立，根的判別式△≤0列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數(shù)a的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．