【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2+ax﹣lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)當(dāng)a≥2時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意a∈(2,3)及任意x1 , x2∈[1,2],恒有ma+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,

【答案】
(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),

a=1時(shí),f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ = ,

令f′(x)=0,得x=1,

∴f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,

∴f(x)極小值=f(1)=1,無極大值;


(2)解:f′x)=(1﹣a)x+a﹣ = ,

當(dāng) =1,即a=2時(shí),f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上遞減;

當(dāng) <1,即a>2時(shí),令f′(x)<0,得0<x< ,或x>1,令f′(x)>0,得 <x<1,

當(dāng) >1,即a<2時(shí),矛盾舍,

綜上,a=2時(shí),f(x)在(0,+∞)遞減,a>2時(shí),f(x)在(0, )和(1,+∞)遞減,在( ,1)遞增;


(3)解:由(2)得;a∈(2,3)時(shí),f(x)在[1,2]上遞減,

x=1時(shí),f(x)最大,x=2時(shí),f(x)最小,

∴|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)= +ln2,

∴ma+ln2> +ln2.

a>0時(shí),經(jīng)整理得m> ,

由2<a<3得;﹣ <0,

∴m≥0


【解析】(1)將a=1代入函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間,從而求出極值,(2)先求出導(dǎo)函數(shù),再分別討論a>2,a=2,a<2時(shí)的情況,綜合得出單調(diào)區(qū)間;(3)由(2)得;a∈(2,3)時(shí),f(x)在[2,3]上遞減,x=1時(shí),f(x)最大,x=2時(shí),f(x)最小,從而|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)= +ln2,進(jìn)而證出ma+ln2> +ln2.經(jīng)整理得m> ,由2<a<3得;﹣ <0,從而m≥0.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求出表中m、n、M,N的值,并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在下面給出的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖:

分組

頻數(shù)

頻率

[0,30)

3

0.03

[30,60)

3

0.03

[60,90)

37

0.37

[90,120)

m

n

[120,150)

15

0.15

合計(jì)

M

N


(2)若我市參加本次考試的學(xué)生有18000人,試估計(jì)這次測(cè)試中我市學(xué)生成績?cè)?0分以上的人數(shù);
(3)為了深入分析學(xué)生的成績,有關(guān)部門擬從分?jǐn)?shù)不超過60的學(xué)生中選取2人進(jìn)行進(jìn)一步分析,求被選中2人分?jǐn)?shù)均不超過30分的概率.

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