Question

某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中AC、BD是過拋物線Γ焦點F的兩條弦，且其焦點F（0，1），

AC

•

BD

=0，點E為y軸上一點，記∠EFA=α，其中α為銳角．
①求拋物線Γ方程；
②如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小，求α的大小？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①直接由拋物線的焦點坐標(biāo)得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②由題意結(jié)合圖形，把A、B、C、D四點的坐標(biāo)分別用|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入拋物線方程后最終求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，代入兩個三角形面積后作和，換元后利用配方法求面積的最小值．

解答： 解：①由拋物線Γ焦點F（0，1）得，拋物線Γ方程為x²=4y；
②設(shè)AF=m，則點A（-msinα，mcosα+1），
∴（-msinα）²=4（1+mcosα），即m²sin²α-4mcosα-4=0．

解得：m=

4cosα±4

2sin2α

=

2(cosα±1)

sin2α

，
∵m＞0，∴|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

．
同理：|BF|=

2(1-sinα)

cos2α

，|DF|=

2(1+sinα)

cos2α

，
|CF|=

2(1-cosα)

sin2α

．
“蝴蝶形圖案”的面積
S=S△AFB+S△CFD=

1

2

AF•BF+

1

2

CF•DF=

4-4sinαcosα

(sinαcosα)2

．
令t=sinαcosα，t∈(0，

1

2

]，∴

1

t

∈[2，+∞)．
則S=4•

1-t

t2

=4(

1

t

-

1

2

)2-1，∴

1

t

=2時，即α=

π

4

時“蝴蝶形圖案”的面積最小為8．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，關(guān)鍵是把A、B、C、D四點的坐標(biāo)分別用
|AF|、|BF|、|CF|、|DF|和α表示，代入拋物線方程后最終求得|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，考查了學(xué)生的運算推理的能力和計算能力，是高考試卷中的壓軸題．