Question

如圖，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CE=λAF（λ＞1）．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，且直線BE與平面ACE所成角的正弦值為，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）方法1（幾何法）：連接BD、AC，交點(diǎn)為O，由正方形的性質(zhì)得BD⊥AC，由線面垂直的性質(zhì)，可得AF⊥BD，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACEF，進(jìn)而B(niǎo)D⊥EF；
（I）方法2（向量法）：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出BD和EF的方向向量，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，可得BD⊥EF；
（Ⅱ）方法1：連接OE，由（Ⅰ）方法1知，BD⊥平面ACEF，所以∠BEO即為直線BE與平面ACE所成的角，解Rt△BEO可得λ值．
（Ⅱ）方法2：由=（0，1，λ），=（-1，1，0）是平面ACE的法向量．則直線BE與面ACE所成角為θ滿足sinθ=，代入可得λ值．
解答：證明：（Ⅰ）方法1（幾何法）：
連接BD、AC，交點(diǎn)為O．
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC   …（2分）
∵AF⊥平面ABCD
∴AF⊥BD       …（4分）
又∵AC∩AF=A，AC，AF?平面ACEF
∴BD⊥平面ACEF                …（6分）
又∵EF?平面ACEF
∴BD⊥EF                        …（7分）
方法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
∵B（1，0，0），D（0，1，0）
∴=（-1，1，0）…（2分）
設(shè)F（0，0，h），那么E（1，1，λh），…（4分）
則=（-1，-1，（1-λ）h）        …（5分）
∴•=0
∴BD⊥EF     …（7分）
（Ⅱ）方法1：連接OE，由（Ⅰ）方法1知，BD⊥平面ACEF，
所以∠BEO即為直線BE與平面ACE所成的角．   …（10分）
∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF，
∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，
∵BC=1，AF=1，則CE=λ，BE=，BO=，
∴Rt△BEO中，sin∠BEO===，…（13分）
因?yàn)棣耍?，解得λ=．        …（15分）
方法2：∵=（0，1，λ），由（Ⅰ）法1知，BD⊥平面ACEF，
故=（-1，1，0）是平面ACE的法向量．                …（10分）
記直線BE與面ACE所成角為θ，
則sinθ===…（13分）；
因?yàn)棣耍?，解得λ=…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力．建立空間坐標(biāo)系，將空間直線與平面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．