Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +a是奇函數(shù)
（1）求常數(shù)a的值
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并給出證明
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）= +a是奇函數(shù)，可得f（x）+f（﹣x）=0

∴ +a+ +a=0，解得a= ，

（2）解：由（1）得f（x）= + 在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，證明如下

任取x1＜x2則

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

當x1，x2∈（0，+∞）時，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ，＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0；

當x1，x2∈（﹣∞，0）時，2x1﹣1＜0，2x2﹣1＜0，2x2﹣2x1＞0，

所以 ＞0，有f（x1）﹣f（x2）＞0，

綜上知，函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)

（3）解：2x→0時，f（x）→﹣ ，2x小于1趨向于1時，f（x）→﹣∞，

2x→+∞時，f（x）→ ，2x大于1趨向于1時，f（x）→+∞，

∴函數(shù)f（x）的值域是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．

【解析】（1）由奇函數(shù)的定義f（x）+f（﹣x）=0，可解得a=，（2） 由于f（x）的單調(diào)性的定義，進行設(shè)值作差可得出f（x）在定義域上單調(diào)遞減，（3）根據(jù)f（x）的解析式，取其極限不難討論出f（x）的值域.
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．