Question

【題目】在直角坐標系中，定義兩點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．現(xiàn)有下列命題：
①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R），則d（P，Q）為定值；
②原點O到直線x﹣y+1=0上任一點P的直角距離d（O，P）的最小值為 ；
③若|PQ|表示P、Q兩點間的距離，那么|PQ|≥ d（P，Q）；
④設A（x，y）且x∈Z，y∈Z，若點A是在過P（1，3）與Q（5，7）的直線上，且點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，那么滿足條件的點A只有5個．
其中的真命題是 ． （寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R），則d（P，Q）=|1﹣sin2α|+|3﹣cos2α|=cos2α+2+sin2α=3為定值，正確；
②設P（x，y），O（0，0），則d（0，P）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示數(shù)軸上的x到1和0的距離之和，其最小值為1，故不正確；
③若|PQ|表示P、Q兩點間的距離，那么|PQ|= ，d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，因為2（a2+b2）≥（a+b）2 ， 所以|PQ|≥ d（P，Q），正確；
④過P（1，3）與Q（5，7）的直線方程為y=x+2，點A到點P與Q的“直角距離”之和等于8，則|x﹣1|+|y﹣3|+|x﹣5|+|y﹣7|=2|x﹣1|+2|x﹣5|=8，所以|x﹣1|+|x﹣5|=4，所以1≤x≤5，因為x∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以滿足條件的點A只有5個，正確．
所以答案是：①③④．