Question

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線的極坐標方程為ρsin(

π

6

-θ)=m（m為常數），圓C的參數方程為

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α為參數）．
（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和圓C的普通方程；
（Ⅱ）若圓心C關于直線的對稱點亦在圓上，求實數m的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程,圓的參數方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）由ρsin(

π

6

-θ)=m，展開可得ρsin

π

6

cosθ-ρcos

π

6

sinθ=m，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

j即可得出；由圓C的參數方程

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α為參數），利用cos²α+sin²α=1即可得出．
（Ⅱ）圓C的圓心C的坐標C(-1，

3

)，由于圓心C關于直線的對稱點亦在圓上，可得圓心C到直線的距離為1，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin(

π

6

-θ)=m，展開可得ρsin

π

6

cosθ-ρcos

π

6

sinθ=m，
所以直線的直角坐標方程為x-

3

y-2m=0
由圓C的參數方程

x=-1+2cosα y= 3 +2sinα

（α為參數）．
利用cos²α+sin²α=1可得：
圓C的普通方程為(x+1)2+(y-

3

)2=4．
（Ⅱ）圓C的圓心C的坐標C(-1，

3

)，
∵圓心C關于直線的對稱點亦在圓上，
∴圓心C到直線的距離為1，
∴

|-1- 3 • 3 -2m|

2

=1，
解得m=-1或m=-3．

點評：本題考查了曲線的極坐標方程參數方程化為直角坐標方程及其普通方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了計算能力，屬于基礎題．