Question

設函數(shù)．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，設函數(shù)，若對于[1，2]，
[0，1]，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1) ；（2）遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），；（3）.

解析試題分析：(1)將代入，分別得到，，再由點斜式得到在處的切線方程為；（2）將代入得到，從而得到遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），；（3）先將題設條件轉(zhuǎn)化為在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后討論的范圍，又在[1,2]上最小值為.由單調(diào)性及從而得到的取值范圍為.
試題解析：(1)函數(shù)的定義域為
，
當時，，，
，故.
所以在處的切線方程為.
(2)當時，.
故當或時，；當時，.
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為（1,2），遞減區(qū)間為（0,1），.
(3)由（2）知，在（1,2）上為增函數(shù)，
所以在[1,2]上的最小值為，
若對于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.
又，
當時，在[0,1]上為增函數(shù)，與題設不符.
當時，，由及，得；
當時，在[0,1]上為減函數(shù)，及得.
綜上所述，的取值范圍為.
考點：1.導數(shù)；2.直線的方程；3.函數(shù)的單調(diào)性與最值.