Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距長為2c，過原點O作圓：（x-c）²+y²=b²的兩條切線，切點分別是A，B，且∠AOB=120°，那么該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的對稱性、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：如圖所示，
連接圓心與切點，可得MA，MB．
則MA⊥OA，MB⊥OB，
∵∠AOB=120°，∴∠AOM=60°．
∴

AM

OM

=sin60°=

3

2

，即2b=

3

c．
∴3c²=4b²=4（c²-a²），
化為c²=4a²．
∴c=2a．
∴e=

c

a

=2．
故選：C．

點評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的對稱性、直角三角形的邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．