Question

（本小題滿分12分）若實(shí)數(shù)a＞0且a≠2，函數(shù).

（1）證明函數(shù)f（x）在x＝1處取得極值，并求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間（0，＋∞）上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）（0，）∪（6，＋∞）

【解析】

試題分析：（1）只需證明x＝1是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而通過對(duì)a的討論，可求出單調(diào)區(qū)間；（2）只需在（0，＋∞）上f（x）最小值＜1即可.

試題解析：（1）∵

∴f '（x）＝ax2－（a＋2）x＋2＝a（x－1）（x－）

當(dāng)a＞2時(shí)，0＜＜1，列表如下：

∴函數(shù)f（x）在x＝1處取得極小值，

f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，）和（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（，1）.

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，＞1，列表如下：

∴函數(shù)f（x）在x＝1處取得極大值

f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，1）和（，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，）.

（2）因?yàn)閒（0）＝1，由（1）知要使在區(qū)間（0，＋∞）上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜1成立，只需在區(qū)間（0，＋∞）上f（x）極小值＜1即可

當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）極小值＝f（1）＝2－＜1，所以a＞6.

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）極小值＝f（）＝1＋＜1，解得0＜a＜

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）∪（6，＋∞）

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，不等式恒成立問題