【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底而ABCD是菱形,且PA=AD=2,∠PAD=BAD=120°,E,F分別為PDBD的中點,且

1)求證:平面PAD⊥平面ABCD

2)求銳二面角E-AC-D的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)先過PPOAD,再通過平幾知識計算得POBO,利用線面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD,再根據(jù)面面垂直判定定理得結果,(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,列方程組解得平面ACE的一個法向量,根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關系得結果.

1)過PPOAD,垂足為O,連結AOBO,

由∠PAD=120°,得∠PAO=60°,

∴在RtPAO中,PO=PAsinPAO=2sin60°=2×=,

∵∠BAO=120°,∴∠BAO=60°,AO=AO,∴△PAO≌△BAO,∴BO=PO=

E,F分別是PA,BD的中點,EF=,∴EFPBD的中位線,

PB=2EF=2×=,

PB2=PO2+BO2,∴POBO,∵AD∩BO=O,∴PO⊥平面ABCD,

PO平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD

2)以O為原點,OBx軸,ODy軸,OPz軸,建立空間直角坐標系,

A01,0),P0,0),B,0,0),D0,3,0),

E0,),F,),=0,),=,0),

易得平面ABCD的一個法向量=0,0,1),

設平面ACE的法向量=x,y,z),則

x=1,得=1-,1),

設銳二面角的平面角的大小為θ,則cosθ=|cos|==

∴銳二面角E-AC-D的余弦值為

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