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設橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值.

 

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)設，由知，，過點F且與x軸垂直的直線為，代入橢圓方程有，解得，于是=，解得，又，從而，，所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)設點由F(-1,0)得直線CD的方程為,代入橢圓方程消去，整理得，求解可得，，

因為，，所以

+

===

=，

由已知得=8，解得.

本題第（Ⅰ）問，由于過點F且與x軸垂直的直線為，所以代入橢圓方程，并結合離心率即可求出；第(Ⅱ)問，把直線CD的方程代入橢圓方程，然后由韋達定理，平面向量的坐標運算，就可求出結果.在聯立方程組以及進行平面向量的運算時，注意計算要細心，聯立方程組后，用設而不求的思想.

【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的運算等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算能力，以及用方程思想解決問題的能力.

 

練習冊系列答案
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點P是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1外的任意一點，過點P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點．
（1）若點P的坐標為（1，2），求直線AB的方程．
（2）設橢圓的左焦點為F，請問：當點P運動時，∠PFA與∠PFB是否總是相等？若是，請給出證明．

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點P是橢圓外的任意一點，過點P的直線PA、PB分別與橢圓相切于A、B兩點。

（1）若點P的坐標為，求直線的方程。

（2）設橢圓的左焦點為F，請問：當點P運動時，是否總是相等？若是，請給出證明。

 

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